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Understanding Analysis
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This lively introductory text exposes the student to the rewards of a rigorous study of functions of a real variable. In each chapter, informal discussions of questions that give analysis its inherent fascination are followed by precise, but not overly formal, developments of the techniques needed to make sense of them. By focusing on the unifying themes of approximation and the resolution of paradoxes that arise in the transition from the finite to the infinite, the text turns what could be a daunting cascade of definitions and theorems into a coherent and engaging progression of ideas. Acutely aware of the need for rigor, the student is much better prepared to understand what constitutes a proper mathematical proof and how to write one. Fifteen years of classroom experience with the first edition of Understanding Analysis have solidified and refined the central narrative of the second edition. Roughly 150 new exercises join a selection of the best exercises from the first edition, and three more project-style sections have been added. Investigations of Euler´s computation of ?(2), the Weierstrass Approximation ­ Theorem, and the gamma function are now among the book´s cohort of seminal results serving as motivation and payoff for the beginning student to master the methods of analysis. Review of the first edition: ´´This is a dangerous book. Understanding Analysis is so well-written and the development of the theory so well-motivated that exposing students to it could well lead them to expect such excellence in all their textbooks. ... Understanding Analysis is perfectly titled; if your students read it, that´s what´s going to happen. ... This terrific book will become the text of choice for the single-variable introductory analysis course ... ´´ - Steve Kennedy, MAA Reviews

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Einleitung in die Analysis des Unendlichen
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in die Analysis des Une n d I i chen. Von Leonhard Euler. Erster Teil. Ins Deutsche übertragen \´Oll H. Maser. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1885. Vorwort des U ebersetzers. Meisterwerke üben ihren Einfluss auf die Fortbildung der Wissen schaft nicht allein durch die in ihnen niedergelegten Resultate des forschenden Geil´ites, es lebt in ihnen eine schöpferische Kraft, die, nie er sterbend, immer neue Keime weckt und fort und fort bis in die späte Ferne hinaus edle Früchte zeitigt. Derartige Geistesproducte, wenn sie selten werden, in ihrer ganzen Fülle ohne Unterlass von Neuern weiteren Kreisen zugänglich zu machen, halte ich fiir kein nutzloses Beginnen. Eben dem Zwecke soll auch die Herausgabe der vorliegenden, gänzlich nenen Uebersetzung des ersten Teils von Eu I er´ s ´´, lntt·oductio in Analysin infinitoJ·um´´ dienen. Diese~:~ durch den Reichtum seine~:~ Inhalts, durch die Feinheit der Methoden und durch die ausserordentliche Klarheit und Präcision der Darstellung ausgezeichnete, in arithmetischer Weise aufgebaute ·werk, welches weite Perspectiven eröffnet, ist h!ltlt zutage, trotzdem oder vielleicht gerade weil fast alle neueren Lehr biicher aus ihm als aus einer nie versiegenden Quelle schöpfen, schon halb in Vergcst;enheit geraten, und dies ist um so mehr zu bedauern, als sich dem Anscheine nach die Erkenntnis geltend macht, dass eine schärfere Bestimmung der Begriffe auch eine weitere Entwicklung der Analysi~:~ mit E uler´ sehen Reminiscenzen auf rein arithmetischer Grundlage ermöglichen dürfte.

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Introduction to Calculus and Analysis II/1
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Richard Courant was born in 1888 in a small town of what is now Poland, and died in New Rochelle, N.Y. in 1972. He received his doctorate from the legendary David Hilbert in Göttingen, where later he founded and directed its famed mathematics Institute, a Mecca for mathematicians in the twenties. In 1933 the Nazi government dismissed Courant for being Jewish, and he emigrated to the United States. He found, in New York, what he called ´´a reservoir of talent´´ to be tapped. He built, at New York University, a new mathematical Sciences Institute that shares the philosophy of its illustrious predecessor and rivals it in worldwide influence. For Courant mathematics was an adventure, with applications forming a vital part. This spirit is reflected in his books, in particular in his influential calculus text, revised in collaboration with his brilliant younger colleague, Fritz John. (P.D. Lax) Fritz John was born on June 14, 1910, in Berlin. After his school years in Danzig (now Gdansk, Poland), he studied in Göttingen and received his doctorate in 1933, just when the Nazi regime came to power. As he was half-Jewish and his bride Aryan, he had to flee Germany in 1934. After a year in Cambridge, UK, he accepted a position at the University of Kentucky, and in 1946 joined Courant, Friedrichs and Stoker in building up New York University the institute that later became the Courant Institute of Mathematical Sciences. He remained there until his death in New Rochelle on February 10, 1994. John´s research and the books he wrote had a strong impact on the development of many fields of mathematics, foremost in partial differential equations. He also worked on Radon transforms, illposed problems, convex geometry, numerical analysis, elasticity theory. In connection with his work in latter field, he and Nirenberg introduced the space of the BMO-functions (bounded mean oscillations). From the reviews: ´´These books (Introduction to Calculus and Analysis Vol. I/II) are very well written. The mathematics are rigorous but the many examples that are given and the applications that are treated make the books extremely readable and the arguments easy to understand. These books are ideally suited for an undergraduate calculus course. Each chapter is followed by a number of interesting exercises. More difficult parts are marked with an asterisk. There are many illuminating figures...Of interest to students, mathematicians, scientists and engineers. Even more than that.´´Newsletter on Computational and Applied Mathematics, 1991´´...one of the best textbooks introducing several generations of mathematicians to higher mathematics. ... This excellent book is highly recommended both to instructors and students.´´ Acta Scientiarum Mathematicarum, 1991

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Elements of the Theory of Functions and Functio...
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2012 Reprint of Volumes One and Two, 1957-1961. Exact facsimile of the original edition, not reproduced with Optical Recognition Software. A. N. Kolmogorov was a Soviet mathematician, preeminent in the 20th century, who advanced various scientific fields, among them probability theory, topology, logic, turbulence, classical mechanics and computational complexity. Later in life Kolmogorov changed his research interests to the area of turbulence, where his publications beginning in 1941 had a significant influence on the field. In classical mechanics, he is best known for the Kolmogorov-Arnold-Moser theorem. In 1957 he solved a particular interpretation of Hilbert´s thirteenth problem (a joint work with his student V. I. Arnold). He was a founder of algorithmic complexity theory, often referred to as Kolmogorov complexity theory, which he began to develop around this time. Based on the authors´ courses and lectures, this two-part advanced-level text is now available in a single volume. Topics include metric and normed spaces, continuous curves in metric spaces, measure theory, Lebesque intervals, Hilbert space, and more. Each section contains exercises. Lists of symbols, definitions, and theorems.

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Calculus With Applications
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Burstein, and Lax´s Calculus with Applications and Computing offers meaningful explanations of the important theorems of single variable calculus. Written with students in mathematics, the physical sciences, and engineering in mind, and revised with their help, it shows that the themes of calculation, approximation, and modeling are central to mathematics and the main ideas of single variable calculus. This edition brings the innovation of the first edition to a new generation of students. New sections in this book use simple, elementary examples to show that when applying calculus concepts to approximations of functions, uniform convergence is more natural and easier to use than point-wise convergence. As in the original, this edition includes material that is essential for students in science and engineering, including an elementary introduction to complex numbers and complex-valued functions, applications of calculus to modeling vibrations and population dynamics, and an introduction to probability and information theory.

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Etwas mehr Analysis
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Dieser Band für Studierende der Mathematik ab dem zweiten Semester setzt den ersten Band ´´Etwas Analysis´´ fort und führt in die klassische mehrdimensionale Analysis ein. Wieder wird Wert auf eine klare Darstellung mit einer möglichst einfachen Notation gelegt, die Denkweisen der Analysis werden herausgearbeitet. Ausgehend von Kurven werden die mehrdimensionale Differenziation und Analysis entwickelt. Dies führt bis zum Begriff der eingebetteten Mannigfaltigkeit, dem natürlichen Ort der Theorie der Extrema mit Nebenbedingungen. Die gewöhnlichen Differenzialgleichungen nehmen einen breiten Raum ein und bieten gleichzeitig einen Einstieg in die Theorie der dynamischen Systeme. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollständige Lösungen auf der Website des Verlages unter ´´Zusätzliche Informationen´´ bereit gestellt werden. Dieser Band findet seine Fortsetzung im dritten Band ´´Noch mehr Analysis´´.

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Noch mehr Analysis
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Dieses Analysis-Buch für Studierende der Mathematik ab dem dritten Semester setzt die Bände ´´Etwas Analysis´´ und ´´Etwas mehr Analysis´´ fort. Ausgangspunkt bei diesem Band ist eine anschauliche und leistungsfähige Darstellung der Lebesguetheorie, die auf die recht aufwändige Maßtheorie als Grundlage verzichtet. Es folgen die Transformationsformel mit einem neuen Beweis, die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit dem Satz von Stokes und die klassischen Sätze der Vektoranalysis. Daran anschließend werden die wesentlichen Grundlagen der L^p-Räume, die Hilbertraumtheorie der Fourierreihen, die Fouriertransformation und Distributionen behandelt. Den Abschluss bildet eine Einführung in die Funktionentheorie, also die Theorie der differenzierbaren Funktionen in einer komplexen Variablen. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, deren vollständige Lösungen auf der Website des Verlages bereit gestellt werden. Auch für weiterführende Vorlesungen der ´´Höheren Mathematik´´ ist dieses Buch eine gute Grundlage, denn es gibt viele Anknüpfungspunkte zu wichtigen Themen wie Partielle Differenzialgleichungen, Funktionalanalysis und Dynamische Systeme.

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Analysis
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In diesem Lehrbuch wird der Stoff einer dreisemestrigen Anfängervorlesung zur Analysis in einer bisher nicht gekannten Prägnanz dargeboten, ohne dass die Verständlichkeit der sprachlichen Darstellung dadurch vernachlässigt wird. Das Buch bietet so eine umfassende Vollständigkeit des Stoffes, die ihres Gleichen sucht. Die Inhalte decken die in einer heutigen Bachelor-Vorlesung zur Analysis üblichen Themen ab: Ein- und mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Differentialformen und der Satz von Stokes. Darüber hinaus sind Kapitel über metrische Räume und allgemeine mengentheoretische Topologie enthalten.

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Etwas Analysis
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Dieses Buch bietet eine schlanke und elegante Einführung in die Analysis einer reellen Variablen für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester. Das Wesentliche wird klar und mit möglichst einfacher Notation formuliert. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, weniger auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgehend von der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen werden die zentralen Begriffe Grenzwert, Vollständigkeit und Stetigkeit diskutiert. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, die auch teilweise weiterführende Ergebnisse entwickeln. Zur Kontrolle werden die vollständigen Lösungen auf der Website des Verlages unter ´´Zusätzliche Informationen´´ zum Buch bereit gestellt. Dieser Band findet seine Fortsetzung in den Bänden ´´Etwas mehr Analysis´´ und ´´Noch mehr Analysis´´.

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